Un número complejo es una expresión matemática que combina un número real y un número imaginario. Se representa tradicionalmente en su forma binómica como z = a + bi, donde a es la parte real, b es la parte imaginaria, e i es la unidad imaginaria definida como i = √(-1) (lo que implica que i² = -1).
Esta estructura dual permite resolver ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales, expandiendo las posibilidades del álgebra y la física.
Operaciones Básicas
Las operaciones con números complejos en forma binómica siguen las reglas tradicionales del álgebra, tratando a la "i" como una variable, pero recordando siempre sustituir i² por -1.
- Suma y Resta: Se operan las partes reales con las reales, y las imaginarias con las imaginarias.
- Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- Resta: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
- Multiplicación: Se aplica la propiedad distributiva.
- (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²
- Sustituyendo i² = -1, el resultado es: (ac – bd) + (ad + bc)i
- División: Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador (cambiando el signo de su parte imaginaria, c – di) para eliminar la "i" de la parte inferior.
- (a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc – ad)i] / (c² + d²)
Conversiones: Forma Binómica y Polar
Además de la forma binómica (z = a + bi), los números complejos se pueden representar en forma polar (z = r∠θ o z = r(cos θ + i sin θ)), la cual es extremadamente útil para multiplicar, dividir y encontrar raíces. En esta forma, "r" es el módulo (la distancia desde el origen) y "θ" es el argumento (el ángulo).
De Binómica a Polar
Para convertir z = a + bi a la forma polar, necesitas encontrar el módulo "r" y el ángulo "θ":
- Módulo (r): Se calcula usando el Teorema de Pitágoras: r = √(a² + b²)
- Argumento (θ): Se obtiene con la función arcotangente: θ = arctan(b/a)
Al calcular el argumento de forma manual, es fundamental conocer los valores trigonométricos de los ángulos notables del primer cuadrante. Esta tabla de referencia rápida te ayudará a identificar los ángulos exactos al hacer la conversión sin calculadora:
| Ángulo (θ) | Seno (sin θ) | Coseno (cos θ) | Tangente (tan θ) |
| 30° (π/6) | 1/2 | √3 / 2 | √3 / 3 |
| 45° (π/4) | √2 / 2 | √2 / 2 | 1 |
| 60° (π/3) | √3 / 2 | 1/2 | √3 |
Nota: Si el número complejo está en otro cuadrante (por ejemplo, si "a" es negativo), deberás ajustar este ángulo base sumando o restando 180° (o π) según corresponda.
De Polar a Binómica
El proceso inverso es directo. Si tienes un número en forma polar con módulo "r" y ángulo "θ", puedes encontrar sus componentes reales e imaginarias utilizando trigonometría básica:
- Parte real (a): a = r * cos(θ)
- Parte imaginaria (b): b = r * sin(θ)
Al aplicar estas fórmulas, reconstruyes el número a su forma original z = a + bi, cerrando así el ciclo de las transformaciones de números complejos.
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